X-Git-Url: http://wien.tomnetworks.com/gitweb/?p=sigproz.git;a=blobdiff_plain;f=ausarb1.txt;h=24add44fa540bc91ab493b80422cfde392891370;hp=2a2cac68cf522cb0e1aac500ca9c3d762f03973a;hb=HEAD;hpb=908686866c93b560c0b2024a366591fd7b858d09 diff --git a/ausarb1.txt b/ausarb1.txt index 2a2cac6..24add44 100755 --- a/ausarb1.txt +++ b/ausarb1.txt @@ -3,9 +3,32 @@ Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner 1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung. Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4] - lineare Faltung: auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt - zirkuläre Faltung: auch zyklische oder periodische Faltung genannt - TODO! + lineare Faltung (auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt): Im + Zeitbereich gilt fuer die laenge des Eregbnisvektors + > len(f*g) == ((len g) + (len f)- 1) + + zirkuläre Faltung (auch zyklische oder periodische Faltung genannt): + Zirkuläre Faltung entsteht ueber den Umweg ueber den Frequenzbereich + > idft(dft(f) x dft(g)) + Hier bleibt die Laenge des Ergebnisvektors gegenueber der Laenge der + Parameter erhalten, also es gilt + > len(idft(dft(f) x dft(g))) == len(g) == len(f) + und dementsprechend unterscheidet sich das Ergebnis zur linearen Faltung. + Abhilfe dabei schafft das Auffuellen von Nullen: + > fnew = [f zeros(1,length(g)-1)] + > gnew = [g zeros(1,length(f)-1)] + und zwar entspricht die Anzahl der Nullen die Laenge minus eins des zweiten + Parameters der Faltung. Durch dieses Auffuellen erreichen wir, dass das + Ergebnis der zirkulären Faltung wieder dem Ergebnis der periodischen + Faltung entspricht. Weiters ist darauf zu achten, dass + > len(g) == len(f) + entspricht, sonst kann die Multiplikation im Frequenzbereich nicht + funktionieren. (??? stimmt das?) + + TODO konkreter unterschied? + Achtung: + * ... entspricht Faltung + x ... Multikplikation 2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet: * Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise. @@ -24,11 +47,25 @@ Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit - Nullen aufgefüllt werden (Zero-Padding). + Nullen der Laenge M-1 aufgefüllt werden und umgekehrt (Zero-Padding). L + steht dabei ueblicherweise fuer die Laenge der Signalabschnitte und M fuer + die Laenge der Impulsantwort, koennen aber auch beliebig andere + Zahlenfolgen sein. 3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1] + + Impulsantwort: in z-Bereich transformieren, und dort H(z) = + \frac{Y(z)}{X(z)} = Systemfunktion berechnen. Um die Impulsantwort zu + erhalten muss H(z) in den Zeitbereich transformiert werden (h[n]). + Y(z) = 1/4 z^{-2} Y(z) + 5 X(z) - 4 z^{-1} X(z) + Y(z) (1 - 1/4 z^{-2}) = X(z) (5 - 4 z^{-1}) + H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{5 - 4 z^{-1}}{1 - 1/4 z^{-2}} + + die Transformation zurueck in den Zeitbereich bleibt dem Leser als Uebung + (Hinweis: Partialbruchzerlegung) + TODO! Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10 @@ -36,6 +73,31 @@ Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner 4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie welche Auswirkungen haben sie? + Filterdesign (von WP): Dabei wird der gewuenschte Frequenzgang des Filters + definiert und per inverse Fouriertransformation die (ideale) Impulsantwort + ermittelt. Das Resultat dabei ist in der Regel unendlich lang, um also + eine gewuenschte Filterlaenge N (=Ordnung) zu erhalten, wird durch eine + Fensterfunktion ein Ausschnitt der unendlichen Impulsantwort ausgewaehlt. + Der tatsaechliche Frequenzgang des Filters entspricht somit der Faltung + des gewuenschten Frequenzganges mit der der Fouriertransformierten der + Fensterfunktion! + + Im Filterdesign fuehren breite (selektive) Fensterfunktionen zu steilen + Uebergaengen (='B') zwischen Durchlass- und Sperrbereich, aber zu geringer + Sperrdaempfung (='A'). Schmale (nicht selektive) Fensterfunktionen fuehren + zu flachen Uebergaengen zwischen Durchlass- und Sperrbereich, dafuer aber + zu grosser Sperrdaempfung. + + + verschiedene Fenster (nach Selektivitaet geordnet): + o Rechteckfenster B=4pi/(2M+1) A=-13dB + o Hannfenster B=8pi/(2M+1) A=-32dB + o Hammingfenster B=8pi/(2M+1) A=-43dB + o Blackmann B=12pi/(2M+1) A=-58dB + + weitere: Dreieckfenster, Kaiserfenster (hat Parameter \beta !) + + 5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR- Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze. - Potenz- oder Butterworthfilter @@ -64,6 +126,12 @@ Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde! + Herleitung: + x[n] = A e^{j \phi} e^{j w^ n} + in y[n] einsetzen ... kommt dann auf + y[n] = (\sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}) A e^{j \phi} e^{j w^ n} + wobei der Term in der Klammer H(w^) entspricht! + in unserem Fall also: x = [1 2 3 3 2 1] H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} + @@ -93,6 +161,11 @@ Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner Typ 2 kann kein Hochpass sein Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein Typ 4 kann kein Tiefpass sein + + Mit analogen Filtern kann eine lineare Phase mithilfe eines Besselfilters + angenaehert werden. Dadurch das analoge Filter im Frequenzbereich + Polynome darstellen ist ihre Phase aber nur annaehernd linear und nicht + komplett wie bei FIR-Filtern. 8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm. @@ -127,6 +200,20 @@ Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren. + (TODO) by wurm: und wie wird fortgefahren? + + +by wurm: + + Durch das PN-Diagramm ist die Systemfunktion H(z) eindeutig ermittelbar. + Nullstellen auf dem Einheitskreis bedeuten, dass die zueghoerige + Frequenzkomponente am Ausgang des Systems nicht auftritt, also vollstaendig + unterdrueckt wird. + Fuer stabile Systeme muessen die Polstellen im z-Bereich innerhalb des + Einheitskreises liegen (zum Vergleich: bei zeit-kontinuierlichen Systemen + gilt, dass die Pole in der linken offenen Halbebene des s-Bereiches liegen + muessen). + (fuer z-bereich: Das folgt aus der Analyse von Differenzengleichungen, siehe seite 13 ET-Text/IIR) 11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen? Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die @@ -165,3 +252,11 @@ Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner 13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf? + Wenn eine gegebene Frequenz nicht auf dem Frequenzraster liegt (Abstand + zwischen Spektrallinien betraegt \frac{f_s}{N}), so muss sie durch + benachbarte Frequenzen dargestellt werden. + + Man kann diesen Effekt vermindern, indem man N groesser waehlt; + vollstaendig verhindert kann der Leck-Effekt nicht werden, da in der + Praxis ueblicherweise die Spektralkomponenten der (praktischen) Signale + nicht am Raster liegen werden.