1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
- lineare Faltung: auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt
- zirkuläre Faltung: auch zyklische oder periodische Faltung genannt
- TODO!
+ lineare Faltung (auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt): Im
+ Zeitbereich gilt fuer die laenge des Eregbnisvektors
+ > len(f*g) == ((len g) + (len f)- 1)
+
+ zirkuläre Faltung (auch zyklische oder periodische Faltung genannt):
+ Zirkuläre Faltung entsteht ueber den Umweg ueber den Frequenzbereich
+ > idft(dft(f) x dft(g))
+ Hier bleibt die Laenge des Ergebnisvektors gegenueber der Laenge der
+ Parameter erhalten, also es gilt
+ > len(idft(dft(f) x dft(g))) == len(g) == len(f)
+ und dementsprechend unterscheidet sich das Ergebnis zur linearen Faltung.
+ Abhilfe dabei schafft das Auffuellen von Nullen:
+ > fnew = [f zeros(1,length(g)-1)]
+ > gnew = [g zeros(1,length(f)-1)]
+ und zwar entspricht die Anzahl der Nullen die Laenge minus eins des zweiten
+ Parameters der Faltung. Durch dieses Auffuellen erreichen wir, dass das
+ Ergebnis der zirkulären Faltung wieder dem Ergebnis der periodischen
+ Faltung entspricht. Weiters ist darauf zu achten, dass
+ > len(g) == len(f)
+ entspricht, sonst kann die Multiplikation im Frequenzbereich nicht
+ funktionieren. (??? stimmt das?)
+
+ TODO konkreter unterschied?
+ Achtung:
+ * ... entspricht Faltung
+ x ... Multikplikation
2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
* Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
+
+ Impulsantwort: in z-Bereich transformieren, und dort H(z) =
+ \frac{Y(z)}{X(z)} = Systemfunktion berechnen. Um die Impulsantwort zu
+ erhalten muss H(z) in den Zeitbereich transformiert werden (h[n]).
+ Y(z) = 1/4 z^{-2} Y(z) + 5 X(z) - 4 z^{-1} X(z)
+ Y(z) (1 - 1/4 z^{-2}) = X(z) (5 - 4 z^{-1})
+ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{5 - 4 z^{-1}}{1 - 1/4 z^{-2}}
+
+ die Transformation zurueck in den Zeitbereich bleibt dem Leser als Uebung
+ (Hinweis: Partialbruchzerlegung)
+
TODO!
Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10