1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
- lineare Faltung: auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt
- zirkuläre Faltung: auch zyklische oder periodische Faltung genannt
- TODO!
+ lineare Faltung (auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt): Im
+ Zeitbereich gilt fuer die laenge des Eregbnisvektors
+ > len(f*g) == ((len g) + (len f)- 1)
+
+ zirkuläre Faltung (auch zyklische oder periodische Faltung genannt):
+ Zirkuläre Faltung entsteht ueber den Umweg ueber den Frequenzbereich
+ > idft(dft(f) x dft(g))
+ Hier bleibt die Laenge des Ergebnisvektors gegenueber der Laenge der
+ Parameter erhalten, also es gilt
+ > len(idft(dft(f) x dft(g))) == len(g) == len(f)
+ und dementsprechend unterscheidet sich das Ergebnis zur linearen Faltung.
+ Abhilfe dabei schafft das Auffuellen von Nullen:
+ > fnew = [f zeros(1,length(g)-1)]
+ > gnew = [g zeros(1,length(f)-1)]
+ und zwar entspricht die Anzahl der Nullen die Laenge minus eins des zweiten
+ Parameters der Faltung. Durch dieses Auffuellen erreichen wir, dass das
+ Ergebnis der zirkulären Faltung wieder dem Ergebnis der periodischen
+ Faltung entspricht. Weiters ist darauf zu achten, dass
+ > len(g) == len(f)
+ entspricht, sonst kann die Multiplikation im Frequenzbereich nicht
+ funktionieren. (??? stimmt das?)
+
+ TODO konkreter unterschied?
+ Achtung:
+ * ... entspricht Faltung
+ x ... Multikplikation
2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
* Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander
überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche
aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit
- Nullen aufgefüllt werden (Zero-Padding).
+ Nullen der Laenge M-1 aufgefüllt werden und umgekehrt (Zero-Padding). L
+ steht dabei ueblicherweise fuer die Laenge der Signalabschnitte und M fuer
+ die Laenge der Impulsantwort, koennen aber auch beliebig andere
+ Zahlenfolgen sein.
3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
+
+ Impulsantwort: in z-Bereich transformieren, und dort H(z) =
+ \frac{Y(z)}{X(z)} = Systemfunktion berechnen. Um die Impulsantwort zu
+ erhalten muss H(z) in den Zeitbereich transformiert werden (h[n]).
+ Y(z) = 1/4 z^{-2} Y(z) + 5 X(z) - 4 z^{-1} X(z)
+ Y(z) (1 - 1/4 z^{-2}) = X(z) (5 - 4 z^{-1})
+ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{5 - 4 z^{-1}}{1 - 1/4 z^{-2}}
+
+ die Transformation zurueck in den Zeitbereich bleibt dem Leser als Uebung
+ (Hinweis: Partialbruchzerlegung)
+
TODO!
Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie
welche Auswirkungen haben sie?
+ Filterdesign (von WP): Dabei wird der gewuenschte Frequenzgang des Filters
+ definiert und per inverse Fouriertransformation die (ideale) Impulsantwort
+ ermittelt. Das Resultat dabei ist in der Regel unendlich lang, um also
+ eine gewuenschte Filterlaenge N (=Ordnung) zu erhalten, wird durch eine
+ Fensterfunktion ein Ausschnitt der unendlichen Impulsantwort ausgewaehlt.
+ Der tatsaechliche Frequenzgang des Filters entspricht somit der Faltung
+ des gewuenschten Frequenzganges mit der der Fouriertransformierten der
+ Fensterfunktion!
+
+ Im Filterdesign fuehren breite (selektive) Fensterfunktionen zu steilen
+ Uebergaengen (='B') zwischen Durchlass- und Sperrbereich, aber zu geringer
+ Sperrdaempfung (='A'). Schmale (nicht selektive) Fensterfunktionen fuehren
+ zu flachen Uebergaengen zwischen Durchlass- und Sperrbereich, dafuer aber
+ zu grosser Sperrdaempfung.
+
+
+ verschiedene Fenster (nach Selektivitaet geordnet):
+ o Rechteckfenster B=4pi/(2M+1) A=-13dB
+ o Hannfenster B=8pi/(2M+1) A=-32dB
+ o Hammingfenster B=8pi/(2M+1) A=-43dB
+ o Blackmann B=12pi/(2M+1) A=-58dB
+
+ weitere: Dreieckfenster, Kaiserfenster (hat Parameter \beta !)
+
+
5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR-
Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze.
- Potenz- oder Butterworthfilter
hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine
Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde!
+ Herleitung:
+ x[n] = A e^{j \phi} e^{j w^ n}
+ in y[n] einsetzen ... kommt dann auf
+ y[n] = (\sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}) A e^{j \phi} e^{j w^ n}
+ wobei der Term in der Klammer H(w^) entspricht!
+
in unserem Fall also:
x = [1 2 3 3 2 1]
H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} +
Typ 2 kann kein Hochpass sein
Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein
Typ 4 kann kein Tiefpass sein
+
+ Mit analogen Filtern kann eine lineare Phase mithilfe eines Besselfilters
+ angenaehert werden. Dadurch das analoge Filter im Frequenzbereich
+ Polynome darstellen ist ihre Phase aber nur annaehernd linear und nicht
+ komplett wie bei FIR-Filtern.
8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters
höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm.
bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die
Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem
Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren.
+ (TODO) by wurm: und wie wird fortgefahren?
+
+
+by wurm:
+
+ Durch das PN-Diagramm ist die Systemfunktion H(z) eindeutig ermittelbar.
+ Nullstellen auf dem Einheitskreis bedeuten, dass die zueghoerige
+ Frequenzkomponente am Ausgang des Systems nicht auftritt, also vollstaendig
+ unterdrueckt wird.
+ Fuer stabile Systeme muessen die Polstellen im z-Bereich innerhalb des
+ Einheitskreises liegen (zum Vergleich: bei zeit-kontinuierlichen Systemen
+ gilt, dass die Pole in der linken offenen Halbebene des s-Bereiches liegen
+ muessen).
+ (fuer z-bereich: Das folgt aus der Analyse von Differenzengleichungen, siehe seite 13 ET-Text/IIR)
11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen?
Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die
13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen
beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf?
+ Wenn eine gegebene Frequenz nicht auf dem Frequenzraster liegt (Abstand
+ zwischen Spektrallinien betraegt \frac{f_s}{N}), so muss sie durch
+ benachbarte Frequenzen dargestellt werden.
+
+ Man kann diesen Effekt vermindern, indem man N groesser waehlt;
+ vollstaendig verhindert kann der Leck-Effekt nicht werden, da in der
+ Praxis ueblicherweise die Spektralkomponenten der (praktischen) Signale
+ nicht am Raster liegen werden.
projects / sigproz.git / blobdiff