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   1 Ausarbeitung der typischen Prüfungsfragen zur Vorlesung "Signalprozessoren"
   2 Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner <e0725433@student.tuwien.ac.at>
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   4 1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
   5      Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
   6         lineare Faltung (auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt): Im
   7         Zeitbereich gilt fuer die laenge des Eregbnisvektors
   8         > len(f*g) == ((len g) + (len f)- 1)
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  10         zirkuläre Faltung (auch zyklische oder periodische Faltung genannt):
  11         Zirkuläre Faltung entsteht ueber den Umweg ueber den Frequenzbereich
  12         > idft(dft(f) x dft(g))
  13         Hier bleibt die Laenge des Ergebnisvektors gegenueber der Laenge der
  14         Parameter erhalten, also es gilt
  15         > len(idft(dft(f) x dft(g))) == len(g) == len(f)
  16         und dementsprechend unterscheidet sich das Ergebnis zur linearen Faltung.
  17         Abhilfe dabei schafft das Auffuellen von Nullen:
  18         > fnew = [f zeros(1,length(g)-1)]
  19         > gnew = [g zeros(1,length(f)-1)]
  20         und zwar entspricht die Anzahl der Nullen die Laenge minus eins des zweiten
  21         Parameters der Faltung. Durch dieses Auffuellen erreichen wir, dass das
  22         Ergebnis der zirkulären Faltung wieder dem Ergebnis der periodischen
  23         Faltung entspricht. Weiters ist darauf zu achten, dass
  24         > len(g) == len(f)
  25         entspricht, sonst kann die Multiplikation im Frequenzbereich nicht
  26         funktionieren. (??? stimmt das?)
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  28         TODO konkreter unterschied?
  29         Achtung:
  30         * ... entspricht Faltung
  31         x ... Multikplikation
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  33 2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
  34      * Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
  35      * Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie f und g über den Frequenzbereich
  36         falten?
  37      * Worauf müssen Sie bei der schnellen Faltung achten?
  38         Hinweis: schnelle Faltung ist nicht nur schneller, sondern auch
  39         genauer, da Rundungsfehler von der Zahl der Operationen abhängen -
  40         weniger Operationen, weniger Rundungsfehler!
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  42         Vorgehensweise: f und g mit Hilfe der FFT in den Frequenzbereich
  43         transformieren, sie dort miteinander multiplizieren, und auf das
  44         Ergebnis die iFFT anwenden.
  45         Problem: FFT arbeitet intern mit der periodischen Faltung, es muss
  46         verhindert werden dass Fehler durch die periodische Faltung entstehen.
  47         Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander
  48         überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche
  49         aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit
  50         Nullen aufgefüllt werden (Zero-Padding).
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  52 3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
  53      Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
  54      y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
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  56          Impulsantwort: in z-Bereich transformieren, und dort H(z) =
  57          \frac{Y(z)}{X(z)} = Systemfunktion berechnen. Um die Impulsantwort zu
  58          erhalten muss H(z) in den Zeitbereich transformiert werden (h[n]).
  59          Y(z) = 1/4 z^{-2} Y(z) + 5 X(z) - 4 z^{-1} X(z)
  60          Y(z) (1 - 1/4 z^{-2}) = X(z) (5 - 4 z^{-1})
  61          H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{5 - 4 z^{-1}}{1 - 1/4 z^{-2}}
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  63          die Transformation zurueck in den Zeitbereich bleibt dem Leser als Uebung
  64          (Hinweis: Partialbruchzerlegung)
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  66         TODO!
  67         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
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  70 4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie
  71      welche Auswirkungen haben sie?
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  73          Filterdesign (von WP): Dabei wird der gewuenschte Frequenzgang des Filters
  74          definiert und per inverse Fouriertransformation die (ideale) Impulsantwort
  75          ermittelt.  Das Resultat dabei ist in der Regel unendlich lang, um also
  76          eine gewuenschte Filterlaenge N (=Ordnung) zu erhalten, wird durch eine
  77          Fensterfunktion ein Ausschnitt der unendlichen Impulsantwort ausgewaehlt.
  78          Der tatsaechliche Frequenzgang des Filters entspricht somit der Faltung
  79          des gewuenschten Frequenzganges mit der der Fouriertransformierten der
  80          Fensterfunktion!
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  82          Im Filterdesign fuehren breite (selektive) Fensterfunktionen zu steilen
  83          Uebergaengen (='B') zwischen Durchlass- und Sperrbereich, aber zu geringer
  84          Sperrdaempfung (='A'). Schmale (nicht selektive) Fensterfunktionen fuehren
  85          zu flachen Uebergaengen zwischen Durchlass- und Sperrbereich, dafuer aber
  86          zu grosser Sperrdaempfung.
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  89          verschiedene Fenster (nach Selektivitaet geordnet):
  90          o Rechteckfenster      B=4pi/(2M+1)    A=-13dB
  91          o Hannfenster          B=8pi/(2M+1)    A=-32dB
  92          o Hammingfenster       B=8pi/(2M+1)    A=-43dB
  93          o Blackmann            B=12pi/(2M+1)   A=-58dB
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  95          weitere: Dreieckfenster, Kaiserfenster (hat Parameter \beta !)
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  98 5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR-
  99      Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze.
 100         - Potenz- oder Butterworthfilter
 101                 - geringste Flankensteilheit
 102                 - ungefähre lineare Phase
 103                 - benötigt vergleichsweise höchste Ordnung
 104         - Tschebyscheff
 105                 - bessere Flankensteilheit als Butterworth, schlechtere
 106                   als bei Elliptisch oder Cauer
 107                 - Lineare Phase schlechter als bei Butterworth, aber besser
 108                   als bei Elliptisch oder Cauer
 109                 - Tschebyscheff Typ 1: höhere Welligkeit im Durchlassbereich
 110                 - Tschebyscheff Typ 2: höhere Welligkeit im Sperrbereich
 111         - Elliptisch oder Cauer
 112                 - beste Flankensteilheit, jedoch Welligkeit in
 113                   Durchlass- und in Sperrbereich
 114                 - benötigt vergleichsweise niedrigste Ordnung
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 116 6 -- Berechnen Sie den Frequenzgang des FIR-Filters mit den Koeffizieten
 117      [1 2 3 3 2 1]
 118         Formel für Frequenzgang von FIR-Filtern allgemein:
 119         [ w^ = w * T_s
 120           w^  ... normierte Kreisfrequenz
 121           T_s ... Abtastperiode ]
 122         H(w^) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}
 123         hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine
 124         Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde!
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 126         Herleitung:
 127         x[n] = A e^{j \phi} e^{j w^ n}
 128         in y[n] einsetzen ... kommt dann auf
 129         y[n] = (\sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}) A e^{j \phi} e^{j w^ n}
 130         wobei der Term in der Klammer H(w^) entspricht!
 131
 132         in unserem Fall also:
 133         x = [1 2 3 3 2 1]
 134         H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} +
 135                   + 2*e^{-j w^ 4} + 1*e^{-j w^ 5}
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 137 7 -- Welche Bedeutung haben Filter mit linearer Phase? Woran erkennen Sie sie?
 138         Lineares Phasenverhalten erzeugt Phasenverschiebungen die
 139         frequenzproportional sind, d.h. die Kurvenform bleibt erhalten!
 140         Steckt die relevante Information in den Frequenzen, und nicht in der
 141         Kurvenform, so ist die lineare Phase nicht von Bedeutung.
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 143         Die lineare Phase ist nur bei FIR-Filtern möglich ist und kann daran
 144         erkannt werden, dass die Koeffizienten symmetrisch sind. Hierbei
 145         gibt es verschiedene Arten von Symmetrien (gerade oder ungerade) und
 146         noch jeweils die Unterscheidung ob die Anzahl der Koeffizienten gerade
 147         oder ungerade ist, was insgesamt zu vier verschiedenen Typen führt:
 148         - Gerade Symmetrie, d.h. b_k = b_{L-1-k}
 149                 - Typ 1: L ist ungeradzahlig (z.B. [1 2 3 2 1])
 150                 - Typ 2: L ist geradzahlig (z.B. [1 2 3 3 2 1])
 151         - Ungerade Symmetrie, d.h. b_k = -b_{L-1-k}
 152                 - Typ 3: L ist ungeradzahlig und b_{(L-1)/2} = 0
 153                         (z.B. [-1, -2, 0, 2, 1])
 154                 - Typ 4: L ist geradzahlig (z.B. [-1 -2 -3 3 2 1])
 155
 156         Folgendes gilt dabei für die Typen:
 157                 Typ 1 ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen sind möglich
 158                 Typ 2 kann kein Hochpass sein
 159                 Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein
 160                 Typ 4 kann kein Tiefpass sein
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 162 8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters
 163      höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm.
 164         y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + ... + b_{L-1} x[n-(L-1)] +
 165              + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] + ... + a_{M-1} y[n-(M-1)] =
 166                \sum_{k=0}{L-1} b_k x[n-k] + \sum_{m=1}{M-1} a_m y[n-m]
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 168         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
 169
 170 9 -- Welche Bedeutung hat die Impulsantwort für die Analyse von diskreten
 171      Filtern?
 172         Die Impulsantwort ist das Ausgangssignal eines Systems, bei dem am
 173         Eingang ein Dirac-Impuls zugeführt wird. Mit Hilfe dieser lässt sich
 174         ein LTI-System vollständig charakterisisieren (z.B. Bestimmung von
 175         Übertragungsfunktion und Frequenzgang). Die Wirkung des Filters kann
 176         durch Faltung der Eingangsfolge mit der Impulsantwort im Zeitbereich
 177         bestimmt werden.
 178         Da jedes Eingangssignal als Überlagerung von gewichteten,
 179         zeitverzögerten Einheitsimpulsen dargestellt werden kann, können die
 180         entsprechenden Ausgangssignale von gewichteten und zeitverzögerten
 181         Versionen der Impulsantwort gebildet werden.
 182
 183 10 - Welche Bedeutung hat das Pol/Nullstellendiagramm?
 184         Aus einem Pol/Nullstellendiagramm kann unter anderem auf den Betrags-
 185         und Phasenverlauf eines Systems, sowie auf dessen Impuls- und Sprung-
 186         antwort geschlossen werden.
 187         Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System
 188         kausal oder stabil ist. Stabilität ist dann gegeben, wenn alle Pole
 189         in der offenen linken Halbebene des Diagramms liegen. Realisierbare
 190         (kausale) Systeme besitzen mehr Pole als Nullstellen.
 191         Weitere Bedeutung hat das Diagramm zum Bestimmen der Koeffizienten
 192         bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die
 193         Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem
 194         Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren.
 195
 196 11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen?
 197         Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die
 198         z-Transformierte der Impulsantwort h[n].
 199
 200         Zusammenhänge:
 201                 Zeitbereich: y[n] = x[n] x h[n] (x = Faltungsoperator!)
 202                 z-Bereich:   H(z) = Y(z)/X(z)
 203                              Y(z) = X(z) * H(z) (* = Multiplikationsoperator!)
 204
 205 12 - Schreiben Sie die DFT und die inverse DFT an. Wie berechnet man die inverse
 206      DFT mit Hilfe der DFT?
 207          DFT: X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2 \pi n}{N} k}
 208         iDFT: x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 209
 210         Die inverse DFT unterscheidet sich von der DFT lediglich durch den
 211         Faktor 1/N und das negative Vorzeichen.
 212
 213         Ausgehend von der Formel für die iDFT kann man beide Seiten konjugiert
 214         komplex machen, wodurch sich die gleiche Formel wie für die DFT ergibt,
 215         nur dass noch ein Faktor von 1/N davorsteht und die einzelnen Werte
 216         X[k] jeweils konjugiert komplex sein müssen!
 217
 218         x[n]  =  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 219         x[n]* = (\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n})* =
 220                  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n}
 221             [konjugiert komplexen Operator nochmal auf beiden Seiten anwenden]
 222         x[n]  = (\frac{1}{N} \sub_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n)*
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 224         Also folgende Vorgehensweise um mit DFT iDFT zu berechnen:
 225                 1. Eingangsfolge komplex konjugieren
 226                 2. DFT auf diese modifizierte Folge anwenden
 227                 3. Ausgangsfolge mit 1/N skalieren
 228                 4. Ausgangsfolge nochmals komplex konjugieren
 229         Das komplex konjugieren kann bei reellen Zeitfolgen entfallen!
 230
 231 13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen
 232      beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf?