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   1 Ausarbeitung der typischen Prüfungsfragen zur Vorlesung "Signalprozessoren"
   2 Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner <e0725433@student.tuwien.ac.at>
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   4 1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
   5      Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
   6         lineare Faltung (auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt): Im
   7         Zeitbereich gilt fuer die laenge des Eregbnisvektors
   8         > len(f*g) == ((len g) + (len f)- 1)
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  10         zirkuläre Faltung (auch zyklische oder periodische Faltung genannt):
  11         Zirkuläre Faltung entsteht ueber den Umweg ueber den Frequenzbereich
  12         > idft(dft(f) x dft(g))
  13         Hier bleibt die Laenge des Ergebnisvektors gegenueber der Laenge der
  14         Parameter erhalten, also es gilt
  15         > len(idft(dft(f) x dft(g))) == len(g) == len(f)
  16         und dementsprechend unterscheidet sich das Ergebnis zur linearen Faltung.
  17         Abhilfe dabei schafft das Auffuellen von Nullen:
  18         > fnew = [f zeros(1,length(g)-1)]
  19         > gnew = [g zeros(1,length(f)-1)]
  20         und zwar entspricht die Anzahl der Nullen die Laenge minus eins des zweiten
  21         Parameters der Faltung. Durch dieses Auffuellen erreichen wir, dass das
  22         Ergebnis der zirkulären Faltung wieder dem Ergebnis der periodischen
  23         Faltung entspricht. Weiters ist darauf zu achten, dass
  24         > len(g) == len(f)
  25         entspricht, sonst kann die Multiplikation im Frequenzbereich nicht
  26         funktionieren. (??? stimmt das?)
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  28         TODO konkreter unterschied?
  29         Achtung:
  30         * ... entspricht Faltung
  31         x ... Multikplikation
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  33 2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
  34      * Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
  35      * Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie f und g über den Frequenzbereich
  36         falten?
  37      * Worauf müssen Sie bei der schnellen Faltung achten?
  38         Hinweis: schnelle Faltung ist nicht nur schneller, sondern auch
  39         genauer, da Rundungsfehler von der Zahl der Operationen abhängen -
  40         weniger Operationen, weniger Rundungsfehler!
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  42         Vorgehensweise: f und g mit Hilfe der FFT in den Frequenzbereich
  43         transformieren, sie dort miteinander multiplizieren, und auf das
  44         Ergebnis die iFFT anwenden.
  45         Problem: FFT arbeitet intern mit der periodischen Faltung, es muss
  46         verhindert werden dass Fehler durch die periodische Faltung entstehen.
  47         Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander
  48         überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche
  49         aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit
  50         Nullen aufgefüllt werden (Zero-Padding).
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  52 3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
  53      Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
  54      y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
  55         TODO!
  56         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
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  59 4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie
  60      welche Auswirkungen haben sie?
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  62 5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR-
  63      Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze.
  64         - Potenz- oder Butterworthfilter
  65                 - geringste Flankensteilheit
  66                 - ungefähre lineare Phase
  67                 - benötigt vergleichsweise höchste Ordnung
  68         - Tschebyscheff
  69                 - bessere Flankensteilheit als Butterworth, schlechtere
  70                   als bei Elliptisch oder Cauer
  71                 - Lineare Phase schlechter als bei Butterworth, aber besser
  72                   als bei Elliptisch oder Cauer
  73                 - Tschebyscheff Typ 1: höhere Welligkeit im Durchlassbereich
  74                 - Tschebyscheff Typ 2: höhere Welligkeit im Sperrbereich
  75         - Elliptisch oder Cauer
  76                 - beste Flankensteilheit, jedoch Welligkeit in
  77                   Durchlass- und in Sperrbereich
  78                 - benötigt vergleichsweise niedrigste Ordnung
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  80 6 -- Berechnen Sie den Frequenzgang des FIR-Filters mit den Koeffizieten
  81      [1 2 3 3 2 1]
  82         Formel für Frequenzgang von FIR-Filtern allgemein:
  83         [ w^ = w * T_s
  84           w^  ... normierte Kreisfrequenz
  85           T_s ... Abtastperiode ]
  86         H(w^) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}
  87         hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine
  88         Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde!
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  90         in unserem Fall also:
  91         x = [1 2 3 3 2 1]
  92         H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} +
  93                   + 2*e^{-j w^ 4} + 1*e^{-j w^ 5}
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  95 7 -- Welche Bedeutung haben Filter mit linearer Phase? Woran erkennen Sie sie?
  96         Lineares Phasenverhalten erzeugt Phasenverschiebungen die
  97         frequenzproportional sind, d.h. die Kurvenform bleibt erhalten!
  98         Steckt die relevante Information in den Frequenzen, und nicht in der
  99         Kurvenform, so ist die lineare Phase nicht von Bedeutung.
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 101         Die lineare Phase ist nur bei FIR-Filtern möglich ist und kann daran
 102         erkannt werden, dass die Koeffizienten symmetrisch sind. Hierbei
 103         gibt es verschiedene Arten von Symmetrien (gerade oder ungerade) und
 104         noch jeweils die Unterscheidung ob die Anzahl der Koeffizienten gerade
 105         oder ungerade ist, was insgesamt zu vier verschiedenen Typen führt:
 106         - Gerade Symmetrie, d.h. b_k = b_{L-1-k}
 107                 - Typ 1: L ist ungeradzahlig (z.B. [1 2 3 2 1])
 108                 - Typ 2: L ist geradzahlig (z.B. [1 2 3 3 2 1])
 109         - Ungerade Symmetrie, d.h. b_k = -b_{L-1-k}
 110                 - Typ 3: L ist ungeradzahlig und b_{(L-1)/2} = 0
 111                         (z.B. [-1, -2, 0, 2, 1])
 112                 - Typ 4: L ist geradzahlig (z.B. [-1 -2 -3 3 2 1])
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 114         Folgendes gilt dabei für die Typen:
 115                 Typ 1 ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen sind möglich
 116                 Typ 2 kann kein Hochpass sein
 117                 Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein
 118                 Typ 4 kann kein Tiefpass sein
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 120 8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters
 121      höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm.
 122         y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + ... + b_{L-1} x[n-(L-1)] +
 123              + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] + ... + a_{M-1} y[n-(M-1)] =
 124                \sum_{k=0}{L-1} b_k x[n-k] + \sum_{m=1}{M-1} a_m y[n-m]
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 126         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
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 128 9 -- Welche Bedeutung hat die Impulsantwort für die Analyse von diskreten
 129      Filtern?
 130         Die Impulsantwort ist das Ausgangssignal eines Systems, bei dem am
 131         Eingang ein Dirac-Impuls zugeführt wird. Mit Hilfe dieser lässt sich
 132         ein LTI-System vollständig charakterisisieren (z.B. Bestimmung von
 133         Übertragungsfunktion und Frequenzgang). Die Wirkung des Filters kann
 134         durch Faltung der Eingangsfolge mit der Impulsantwort im Zeitbereich
 135         bestimmt werden.
 136         Da jedes Eingangssignal als Überlagerung von gewichteten,
 137         zeitverzögerten Einheitsimpulsen dargestellt werden kann, können die
 138         entsprechenden Ausgangssignale von gewichteten und zeitverzögerten
 139         Versionen der Impulsantwort gebildet werden.
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 141 10 - Welche Bedeutung hat das Pol/Nullstellendiagramm?
 142         Aus einem Pol/Nullstellendiagramm kann unter anderem auf den Betrags-
 143         und Phasenverlauf eines Systems, sowie auf dessen Impuls- und Sprung-
 144         antwort geschlossen werden.
 145         Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System
 146         kausal oder stabil ist. Stabilität ist dann gegeben, wenn alle Pole
 147         in der offenen linken Halbebene des Diagramms liegen. Realisierbare
 148         (kausale) Systeme besitzen mehr Pole als Nullstellen.
 149         Weitere Bedeutung hat das Diagramm zum Bestimmen der Koeffizienten
 150         bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die
 151         Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem
 152         Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren.
 153
 154 11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen?
 155         Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die
 156         z-Transformierte der Impulsantwort h[n].
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 158         Zusammenhänge:
 159                 Zeitbereich: y[n] = x[n] x h[n] (x = Faltungsoperator!)
 160                 z-Bereich:   H(z) = Y(z)/X(z)
 161                              Y(z) = X(z) * H(z) (* = Multiplikationsoperator!)
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 163 12 - Schreiben Sie die DFT und die inverse DFT an. Wie berechnet man die inverse
 164      DFT mit Hilfe der DFT?
 165          DFT: X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2 \pi n}{N} k}
 166         iDFT: x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
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 168         Die inverse DFT unterscheidet sich von der DFT lediglich durch den
 169         Faktor 1/N und das negative Vorzeichen.
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 171         Ausgehend von der Formel für die iDFT kann man beide Seiten konjugiert
 172         komplex machen, wodurch sich die gleiche Formel wie für die DFT ergibt,
 173         nur dass noch ein Faktor von 1/N davorsteht und die einzelnen Werte
 174         X[k] jeweils konjugiert komplex sein müssen!
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 176         x[n]  =  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 177         x[n]* = (\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n})* =
 178                  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n}
 179             [konjugiert komplexen Operator nochmal auf beiden Seiten anwenden]
 180         x[n]  = (\frac{1}{N} \sub_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n)*
 181
 182         Also folgende Vorgehensweise um mit DFT iDFT zu berechnen:
 183                 1. Eingangsfolge komplex konjugieren
 184                 2. DFT auf diese modifizierte Folge anwenden
 185                 3. Ausgangsfolge mit 1/N skalieren
 186                 4. Ausgangsfolge nochmals komplex konjugieren
 187         Das komplex konjugieren kann bei reellen Zeitfolgen entfallen!
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 189 13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen
 190      beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf?