1 Ausarbeitung der typischen Prüfungsfragen zur Vorlesung "Signalprozessoren"
2 Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner <e0725433@student.tuwien.ac.at>
4 1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
5 Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
6 lineare Faltung (auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt): Im
7 Zeitbereich gilt fuer die laenge des Eregbnisvektors
8 > len(f*g) == ((len g) + (len f)- 1)
10 zirkuläre Faltung (auch zyklische oder periodische Faltung genannt):
11 Zirkuläre Faltung entsteht ueber den Umweg ueber den Frequenzbereich
12 > idft(dft(f) x dft(g))
13 Hier bleibt die Laenge des Ergebnisvektors gegenueber der Laenge der
14 Parameter erhalten, also es gilt
15 > len(idft(dft(f) x dft(g))) == len(g) == len(f)
16 und dementsprechend unterscheidet sich das Ergebnis zur linearen Faltung.
17 Abhilfe dabei schafft das Auffuellen von Nullen:
18 > fnew = [f zeros(1,length(g)-1)]
19 > gnew = [g zeros(1,length(f)-1)]
20 und zwar entspricht die Anzahl der Nullen die Laenge minus eins des zweiten
21 Parameters der Faltung. Durch dieses Auffuellen erreichen wir, dass das
22 Ergebnis der zirkulären Faltung wieder dem Ergebnis der periodischen
23 Faltung entspricht. Weiters ist darauf zu achten, dass
25 entspricht, sonst kann die Multiplikation im Frequenzbereich nicht
26 funktionieren. (??? stimmt das?)
28 TODO konkreter unterschied?
30 * ... entspricht Faltung
33 2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
34 * Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
35 * Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie f und g über den Frequenzbereich
37 * Worauf müssen Sie bei der schnellen Faltung achten?
38 Hinweis: schnelle Faltung ist nicht nur schneller, sondern auch
39 genauer, da Rundungsfehler von der Zahl der Operationen abhängen -
40 weniger Operationen, weniger Rundungsfehler!
42 Vorgehensweise: f und g mit Hilfe der FFT in den Frequenzbereich
43 transformieren, sie dort miteinander multiplizieren, und auf das
44 Ergebnis die iFFT anwenden.
45 Problem: FFT arbeitet intern mit der periodischen Faltung, es muss
46 verhindert werden dass Fehler durch die periodische Faltung entstehen.
47 Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander
48 überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche
49 aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit
50 Nullen aufgefüllt werden (Zero-Padding).
52 3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
53 Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
54 y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
56 Impulsantwort: in z-Bereich transformieren, und dort H(z) =
57 \frac{Y(z)}{X(z)} = Systemfunktion berechnen. Um die Impulsantwort zu
58 erhalten muss H(z) in den Zeitbereich transformiert werden (h[n]).
59 Y(z) = 1/4 z^{-2} Y(z) + 5 X(z) - 4 z^{-1} X(z)
60 Y(z) (1 - 1/4 z^{-2}) = X(z) (5 - 4 z^{-1})
61 H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{5 - 4 z^{-1}}{1 - 1/4 z^{-2}}
63 die Transformation zurueck in den Zeitbereich bleibt dem Leser als Uebung
64 (Hinweis: Partialbruchzerlegung)
67 Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
70 4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie
71 welche Auswirkungen haben sie?
73 5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR-
74 Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze.
75 - Potenz- oder Butterworthfilter
76 - geringste Flankensteilheit
77 - ungefähre lineare Phase
78 - benötigt vergleichsweise höchste Ordnung
80 - bessere Flankensteilheit als Butterworth, schlechtere
81 als bei Elliptisch oder Cauer
82 - Lineare Phase schlechter als bei Butterworth, aber besser
83 als bei Elliptisch oder Cauer
84 - Tschebyscheff Typ 1: höhere Welligkeit im Durchlassbereich
85 - Tschebyscheff Typ 2: höhere Welligkeit im Sperrbereich
86 - Elliptisch oder Cauer
87 - beste Flankensteilheit, jedoch Welligkeit in
88 Durchlass- und in Sperrbereich
89 - benötigt vergleichsweise niedrigste Ordnung
91 6 -- Berechnen Sie den Frequenzgang des FIR-Filters mit den Koeffizieten
93 Formel für Frequenzgang von FIR-Filtern allgemein:
95 w^ ... normierte Kreisfrequenz
96 T_s ... Abtastperiode ]
97 H(w^) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}
98 hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine
99 Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde!
101 in unserem Fall also:
103 H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} +
104 + 2*e^{-j w^ 4} + 1*e^{-j w^ 5}
106 7 -- Welche Bedeutung haben Filter mit linearer Phase? Woran erkennen Sie sie?
107 Lineares Phasenverhalten erzeugt Phasenverschiebungen die
108 frequenzproportional sind, d.h. die Kurvenform bleibt erhalten!
109 Steckt die relevante Information in den Frequenzen, und nicht in der
110 Kurvenform, so ist die lineare Phase nicht von Bedeutung.
112 Die lineare Phase ist nur bei FIR-Filtern möglich ist und kann daran
113 erkannt werden, dass die Koeffizienten symmetrisch sind. Hierbei
114 gibt es verschiedene Arten von Symmetrien (gerade oder ungerade) und
115 noch jeweils die Unterscheidung ob die Anzahl der Koeffizienten gerade
116 oder ungerade ist, was insgesamt zu vier verschiedenen Typen führt:
117 - Gerade Symmetrie, d.h. b_k = b_{L-1-k}
118 - Typ 1: L ist ungeradzahlig (z.B. [1 2 3 2 1])
119 - Typ 2: L ist geradzahlig (z.B. [1 2 3 3 2 1])
120 - Ungerade Symmetrie, d.h. b_k = -b_{L-1-k}
121 - Typ 3: L ist ungeradzahlig und b_{(L-1)/2} = 0
122 (z.B. [-1, -2, 0, 2, 1])
123 - Typ 4: L ist geradzahlig (z.B. [-1 -2 -3 3 2 1])
125 Folgendes gilt dabei für die Typen:
126 Typ 1 ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen sind möglich
127 Typ 2 kann kein Hochpass sein
128 Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein
129 Typ 4 kann kein Tiefpass sein
131 8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters
132 höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm.
133 y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + ... + b_{L-1} x[n-(L-1)] +
134 + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] + ... + a_{M-1} y[n-(M-1)] =
135 \sum_{k=0}{L-1} b_k x[n-k] + \sum_{m=1}{M-1} a_m y[n-m]
137 Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
139 9 -- Welche Bedeutung hat die Impulsantwort für die Analyse von diskreten
141 Die Impulsantwort ist das Ausgangssignal eines Systems, bei dem am
142 Eingang ein Dirac-Impuls zugeführt wird. Mit Hilfe dieser lässt sich
143 ein LTI-System vollständig charakterisisieren (z.B. Bestimmung von
144 Übertragungsfunktion und Frequenzgang). Die Wirkung des Filters kann
145 durch Faltung der Eingangsfolge mit der Impulsantwort im Zeitbereich
147 Da jedes Eingangssignal als Überlagerung von gewichteten,
148 zeitverzögerten Einheitsimpulsen dargestellt werden kann, können die
149 entsprechenden Ausgangssignale von gewichteten und zeitverzögerten
150 Versionen der Impulsantwort gebildet werden.
152 10 - Welche Bedeutung hat das Pol/Nullstellendiagramm?
153 Aus einem Pol/Nullstellendiagramm kann unter anderem auf den Betrags-
154 und Phasenverlauf eines Systems, sowie auf dessen Impuls- und Sprung-
155 antwort geschlossen werden.
156 Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System
157 kausal oder stabil ist. Stabilität ist dann gegeben, wenn alle Pole
158 in der offenen linken Halbebene des Diagramms liegen. Realisierbare
159 (kausale) Systeme besitzen mehr Pole als Nullstellen.
160 Weitere Bedeutung hat das Diagramm zum Bestimmen der Koeffizienten
161 bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die
162 Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem
163 Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren.
165 11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen?
166 Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die
167 z-Transformierte der Impulsantwort h[n].
170 Zeitbereich: y[n] = x[n] x h[n] (x = Faltungsoperator!)
171 z-Bereich: H(z) = Y(z)/X(z)
172 Y(z) = X(z) * H(z) (* = Multiplikationsoperator!)
174 12 - Schreiben Sie die DFT und die inverse DFT an. Wie berechnet man die inverse
175 DFT mit Hilfe der DFT?
176 DFT: X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2 \pi n}{N} k}
177 iDFT: x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
179 Die inverse DFT unterscheidet sich von der DFT lediglich durch den
180 Faktor 1/N und das negative Vorzeichen.
182 Ausgehend von der Formel für die iDFT kann man beide Seiten konjugiert
183 komplex machen, wodurch sich die gleiche Formel wie für die DFT ergibt,
184 nur dass noch ein Faktor von 1/N davorsteht und die einzelnen Werte
185 X[k] jeweils konjugiert komplex sein müssen!
187 x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
188 x[n]* = (\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n})* =
189 \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n}
190 [konjugiert komplexen Operator nochmal auf beiden Seiten anwenden]
191 x[n] = (\frac{1}{N} \sub_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n)*
193 Also folgende Vorgehensweise um mit DFT iDFT zu berechnen:
194 1. Eingangsfolge komplex konjugieren
195 2. DFT auf diese modifizierte Folge anwenden
196 3. Ausgangsfolge mit 1/N skalieren
197 4. Ausgangsfolge nochmals komplex konjugieren
198 Das komplex konjugieren kann bei reellen Zeitfolgen entfallen!
200 13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen
201 beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf?