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   1 Ausarbeitung der typischen Prüfungsfragen zur Vorlesung "Signalprozessoren"
   2 Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner <e0725433@student.tuwien.ac.at>
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   4 1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
   5      Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
   6         lineare Faltung (auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt): Im
   7         Zeitbereich gilt fuer die laenge des Eregbnisvektors
   8         > len(f*g) == ((len g) + (len f)- 1)
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  10         zirkuläre Faltung (auch zyklische oder periodische Faltung genannt):
  11         Zirkuläre Faltung entsteht ueber den Umweg ueber den Frequenzbereich
  12         > idft(dft(f) x dft(g))
  13         Hier bleibt die Laenge des Ergebnisvektors gegenueber der Laenge der
  14         Parameter erhalten, also es gilt
  15         > len(idft(dft(f) x dft(g))) == len(g) == len(f)
  16         und dementsprechend unterscheidet sich das Ergebnis zur linearen Faltung.
  17         Abhilfe dabei schafft das Auffuellen von Nullen:
  18         > fnew = [f zeros(1,length(g)-1)]
  19         > gnew = [g zeros(1,length(f)-1)]
  20         und zwar entspricht die Anzahl der Nullen die Laenge minus eins des zweiten
  21         Parameters der Faltung. Durch dieses Auffuellen erreichen wir, dass das
  22         Ergebnis der zirkulären Faltung wieder dem Ergebnis der periodischen
  23         Faltung entspricht. Weiters ist darauf zu achten, dass
  24         > len(g) == len(f)
  25         entspricht, sonst kann die Multiplikation im Frequenzbereich nicht
  26         funktionieren. (??? stimmt das?)
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  28         TODO konkreter unterschied?
  29         Achtung:
  30         * ... entspricht Faltung
  31         x ... Multikplikation
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  33 2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
  34      * Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
  35      * Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie f und g über den Frequenzbereich
  36         falten?
  37      * Worauf müssen Sie bei der schnellen Faltung achten?
  38         Hinweis: schnelle Faltung ist nicht nur schneller, sondern auch
  39         genauer, da Rundungsfehler von der Zahl der Operationen abhängen -
  40         weniger Operationen, weniger Rundungsfehler!
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  42         Vorgehensweise: f und g mit Hilfe der FFT in den Frequenzbereich
  43         transformieren, sie dort miteinander multiplizieren, und auf das
  44         Ergebnis die iFFT anwenden.
  45         Problem: FFT arbeitet intern mit der periodischen Faltung, es muss
  46         verhindert werden dass Fehler durch die periodische Faltung entstehen.
  47         Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander
  48         überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche
  49         aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit
  50         Nullen aufgefüllt werden (Zero-Padding).
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  52 3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
  53      Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
  54      y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
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  56          Impulsantwort: in z-Bereich transformieren, und dort H(z) =
  57          \frac{Y(z)}{X(z)} = Systemfunktion berechnen. Um die Impulsantwort zu
  58          erhalten muss H(z) in den Zeitbereich transformiert werden (h[n]).
  59          Y(z) = 1/4 z^{-2} Y(z) + 5 X(z) - 4 z^{-1} X(z)
  60          Y(z) (1 - 1/4 z^{-2}) = X(z) (5 - 4 z^{-1})
  61          H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{5 - 4 z^{-1}}{1 - 1/4 z^{-2}}
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  63          die Transformation zurueck in den Zeitbereich bleibt dem Leser als Uebung
  64          (Hinweis: Partialbruchzerlegung)
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  66         TODO!
  67         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
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  70 4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie
  71      welche Auswirkungen haben sie?
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  73 5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR-
  74      Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze.
  75         - Potenz- oder Butterworthfilter
  76                 - geringste Flankensteilheit
  77                 - ungefähre lineare Phase
  78                 - benötigt vergleichsweise höchste Ordnung
  79         - Tschebyscheff
  80                 - bessere Flankensteilheit als Butterworth, schlechtere
  81                   als bei Elliptisch oder Cauer
  82                 - Lineare Phase schlechter als bei Butterworth, aber besser
  83                   als bei Elliptisch oder Cauer
  84                 - Tschebyscheff Typ 1: höhere Welligkeit im Durchlassbereich
  85                 - Tschebyscheff Typ 2: höhere Welligkeit im Sperrbereich
  86         - Elliptisch oder Cauer
  87                 - beste Flankensteilheit, jedoch Welligkeit in
  88                   Durchlass- und in Sperrbereich
  89                 - benötigt vergleichsweise niedrigste Ordnung
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  91 6 -- Berechnen Sie den Frequenzgang des FIR-Filters mit den Koeffizieten
  92      [1 2 3 3 2 1]
  93         Formel für Frequenzgang von FIR-Filtern allgemein:
  94         [ w^ = w * T_s
  95           w^  ... normierte Kreisfrequenz
  96           T_s ... Abtastperiode ]
  97         H(w^) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}
  98         hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine
  99         Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde!
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 101         in unserem Fall also:
 102         x = [1 2 3 3 2 1]
 103         H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} +
 104                   + 2*e^{-j w^ 4} + 1*e^{-j w^ 5}
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 106 7 -- Welche Bedeutung haben Filter mit linearer Phase? Woran erkennen Sie sie?
 107         Lineares Phasenverhalten erzeugt Phasenverschiebungen die
 108         frequenzproportional sind, d.h. die Kurvenform bleibt erhalten!
 109         Steckt die relevante Information in den Frequenzen, und nicht in der
 110         Kurvenform, so ist die lineare Phase nicht von Bedeutung.
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 112         Die lineare Phase ist nur bei FIR-Filtern möglich ist und kann daran
 113         erkannt werden, dass die Koeffizienten symmetrisch sind. Hierbei
 114         gibt es verschiedene Arten von Symmetrien (gerade oder ungerade) und
 115         noch jeweils die Unterscheidung ob die Anzahl der Koeffizienten gerade
 116         oder ungerade ist, was insgesamt zu vier verschiedenen Typen führt:
 117         - Gerade Symmetrie, d.h. b_k = b_{L-1-k}
 118                 - Typ 1: L ist ungeradzahlig (z.B. [1 2 3 2 1])
 119                 - Typ 2: L ist geradzahlig (z.B. [1 2 3 3 2 1])
 120         - Ungerade Symmetrie, d.h. b_k = -b_{L-1-k}
 121                 - Typ 3: L ist ungeradzahlig und b_{(L-1)/2} = 0
 122                         (z.B. [-1, -2, 0, 2, 1])
 123                 - Typ 4: L ist geradzahlig (z.B. [-1 -2 -3 3 2 1])
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 125         Folgendes gilt dabei für die Typen:
 126                 Typ 1 ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen sind möglich
 127                 Typ 2 kann kein Hochpass sein
 128                 Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein
 129                 Typ 4 kann kein Tiefpass sein
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 131 8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters
 132      höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm.
 133         y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + ... + b_{L-1} x[n-(L-1)] +
 134              + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] + ... + a_{M-1} y[n-(M-1)] =
 135                \sum_{k=0}{L-1} b_k x[n-k] + \sum_{m=1}{M-1} a_m y[n-m]
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 137         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
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 139 9 -- Welche Bedeutung hat die Impulsantwort für die Analyse von diskreten
 140      Filtern?
 141         Die Impulsantwort ist das Ausgangssignal eines Systems, bei dem am
 142         Eingang ein Dirac-Impuls zugeführt wird. Mit Hilfe dieser lässt sich
 143         ein LTI-System vollständig charakterisisieren (z.B. Bestimmung von
 144         Übertragungsfunktion und Frequenzgang). Die Wirkung des Filters kann
 145         durch Faltung der Eingangsfolge mit der Impulsantwort im Zeitbereich
 146         bestimmt werden.
 147         Da jedes Eingangssignal als Überlagerung von gewichteten,
 148         zeitverzögerten Einheitsimpulsen dargestellt werden kann, können die
 149         entsprechenden Ausgangssignale von gewichteten und zeitverzögerten
 150         Versionen der Impulsantwort gebildet werden.
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 152 10 - Welche Bedeutung hat das Pol/Nullstellendiagramm?
 153         Aus einem Pol/Nullstellendiagramm kann unter anderem auf den Betrags-
 154         und Phasenverlauf eines Systems, sowie auf dessen Impuls- und Sprung-
 155         antwort geschlossen werden.
 156         Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System
 157         kausal oder stabil ist. Stabilität ist dann gegeben, wenn alle Pole
 158         in der offenen linken Halbebene des Diagramms liegen. Realisierbare
 159         (kausale) Systeme besitzen mehr Pole als Nullstellen.
 160         Weitere Bedeutung hat das Diagramm zum Bestimmen der Koeffizienten
 161         bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die
 162         Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem
 163         Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren.
 164
 165 11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen?
 166         Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die
 167         z-Transformierte der Impulsantwort h[n].
 168
 169         Zusammenhänge:
 170                 Zeitbereich: y[n] = x[n] x h[n] (x = Faltungsoperator!)
 171                 z-Bereich:   H(z) = Y(z)/X(z)
 172                              Y(z) = X(z) * H(z) (* = Multiplikationsoperator!)
 173
 174 12 - Schreiben Sie die DFT und die inverse DFT an. Wie berechnet man die inverse
 175      DFT mit Hilfe der DFT?
 176          DFT: X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2 \pi n}{N} k}
 177         iDFT: x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 178
 179         Die inverse DFT unterscheidet sich von der DFT lediglich durch den
 180         Faktor 1/N und das negative Vorzeichen.
 181
 182         Ausgehend von der Formel für die iDFT kann man beide Seiten konjugiert
 183         komplex machen, wodurch sich die gleiche Formel wie für die DFT ergibt,
 184         nur dass noch ein Faktor von 1/N davorsteht und die einzelnen Werte
 185         X[k] jeweils konjugiert komplex sein müssen!
 186
 187         x[n]  =  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 188         x[n]* = (\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n})* =
 189                  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n}
 190             [konjugiert komplexen Operator nochmal auf beiden Seiten anwenden]
 191         x[n]  = (\frac{1}{N} \sub_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n)*
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 193         Also folgende Vorgehensweise um mit DFT iDFT zu berechnen:
 194                 1. Eingangsfolge komplex konjugieren
 195                 2. DFT auf diese modifizierte Folge anwenden
 196                 3. Ausgangsfolge mit 1/N skalieren
 197                 4. Ausgangsfolge nochmals komplex konjugieren
 198         Das komplex konjugieren kann bei reellen Zeitfolgen entfallen!
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 200 13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen
 201      beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf?