1 Ausarbeitung der typischen Prüfungsfragen zur Vorlesung "Signalprozessoren"
2 Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner <e0725433@student.tuwien.ac.at>
4 1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
5 Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
6 lineare Faltung: auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt
7 zirkuläre Faltung: auch zyklische oder periodische Faltung genannt
10 2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
11 * Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
12 * Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie f und g über den Frequenzbereich
14 * Worauf müssen Sie bei der schnellen Faltung achten?
15 Hinweis: schnelle Faltung ist nicht nur schneller, sondern auch
16 genauer, da Rundungsfehler von der Zahl der Operationen abhängen -
17 weniger Operationen, weniger Rundungsfehler!
19 Vorgehensweise: f und g mit Hilfe der FFT in den Frequenzbereich
20 transformieren, sie dort miteinander multiplizieren, und auf das
21 Ergebnis die iFFT anwenden.
22 Problem: FFT arbeitet intern mit der periodischen Faltung, es muss
23 verhindert werden dass Fehler durch die periodische Faltung entstehen.
24 Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander
25 überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche
26 aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit
27 Nullen aufgefüllt werden (Zero-Padding).
29 3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
30 Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
31 y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
33 Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
36 4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie
37 welche Auswirkungen haben sie?
39 5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR-
40 Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze.
41 - Potenz- oder Butterworthfilter
42 - geringste Flankensteilheit
43 - ungefähre lineare Phase
44 - benötigt vergleichsweise höchste Ordnung
46 - bessere Flankensteilheit als Butterworth, schlechtere
47 als bei Elliptisch oder Cauer
48 - Lineare Phase schlechter als bei Butterworth, aber besser
49 als bei Elliptisch oder Cauer
50 - Tschebyscheff Typ 1: höhere Welligkeit im Durchlassbereich
51 - Tschebyscheff Typ 2: höhere Welligkeit im Sperrbereich
52 - Elliptisch oder Cauer
53 - beste Flankensteilheit, jedoch Welligkeit in
54 Durchlass- und in Sperrbereich
55 - benötigt vergleichsweise niedrigste Ordnung
57 6 -- Berechnen Sie den Frequenzgang des FIR-Filters mit den Koeffizieten
59 Formel für Frequenzgang von FIR-Filtern allgemein:
61 w^ ... normierte Kreisfrequenz
62 T_s ... Abtastperiode ]
63 H(w^) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}
64 hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine
65 Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde!
69 H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} +
70 + 2*e^{-j w^ 4} + 1*e^{-j w^ 5}
72 7 -- Welche Bedeutung haben Filter mit linearer Phase? Woran erkennen Sie sie?
73 Lineares Phasenverhalten erzeugt Phasenverschiebungen die
74 frequenzproportional sind, d.h. die Kurvenform bleibt erhalten!
75 Steckt die relevante Information in den Frequenzen, und nicht in der
76 Kurvenform, so ist die lineare Phase nicht von Bedeutung.
78 Die lineare Phase ist nur bei FIR-Filtern möglich ist und kann daran
79 erkannt werden, dass die Koeffizienten symmetrisch sind. Hierbei
80 gibt es verschiedene Arten von Symmetrien (gerade oder ungerade) und
81 noch jeweils die Unterscheidung ob die Anzahl der Koeffizienten gerade
82 oder ungerade ist, was insgesamt zu vier verschiedenen Typen führt:
83 - Gerade Symmetrie, d.h. b_k = b_{L-1-k}
84 - Typ 1: L ist ungeradzahlig (z.B. [1 2 3 2 1])
85 - Typ 2: L ist geradzahlig (z.B. [1 2 3 3 2 1])
86 - Ungerade Symmetrie, d.h. b_k = -b_{L-1-k}
87 - Typ 3: L ist ungeradzahlig und b_{(L-1)/2} = 0
88 (z.B. [-1, -2, 0, 2, 1])
89 - Typ 4: L ist geradzahlig (z.B. [-1 -2 -3 3 2 1])
91 Folgendes gilt dabei für die Typen:
92 Typ 1 ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen sind möglich
93 Typ 2 kann kein Hochpass sein
94 Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein
95 Typ 4 kann kein Tiefpass sein
97 8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters
98 höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm.
99 y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + ... + b_{L-1} x[n-(L-1)] +
100 + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] + ... + a_{M-1} y[n-(M-1)] =
101 \sum_{k=0}{L-1} b_k x[n-k] + \sum_{m=1}{M-1} a_m y[n-m]
103 Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
105 9 -- Welche Bedeutung hat die Impulsantwort für die Analyse von diskreten
107 Die Impulsantwort ist das Ausgangssignal eines Systems, bei dem am
108 Eingang ein Dirac-Impuls zugeführt wird. Mit Hilfe dieser lässt sich
109 ein LTI-System vollständig charakterisisieren (z.B. Bestimmung von
110 Übertragungsfunktion und Frequenzgang). Die Wirkung des Filters kann
111 durch Faltung der Eingangsfolge mit der Impulsantwort im Zeitbereich
113 Da jedes Eingangssignal als Überlagerung von gewichteten,
114 zeitverzögerten Einheitsimpulsen dargestellt werden kann, können die
115 entsprechenden Ausgangssignale von gewichteten und zeitverzögerten
116 Versionen der Impulsantwort gebildet werden.
118 10 - Welche Bedeutung hat das Pol/Nullstellendiagramm?
119 Aus einem Pol/Nullstellendiagramm kann unter anderem auf den Betrags-
120 und Phasenverlauf eines Systems, sowie auf dessen Impuls- und Sprung-
121 antwort geschlossen werden.
122 Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System
123 kausal oder stabil ist. Stabilität ist dann gegeben, wenn alle Pole
124 in der offenen linken Halbebene des Diagramms liegen. Realisierbare
125 (kausale) Systeme besitzen mehr Pole als Nullstellen.
126 Weitere Bedeutung hat das Diagramm zum Bestimmen der Koeffizienten
127 bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die
128 Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem
129 Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren.
131 11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen?
132 Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die
133 z-Transformierte der Impulsantwort h[n].
136 Zeitbereich: y[n] = x[n] x h[n] (x = Faltungsoperator!)
137 z-Bereich: H(z) = Y(z)/X(z)
138 Y(z) = X(z) * H(z) (* = Multiplikationsoperator!)
140 12 - Schreiben Sie die DFT und die inverse DFT an. Wie berechnet man die inverse
141 DFT mit Hilfe der DFT?
142 DFT: X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2 \pi n}{N} k}
143 iDFT: x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
145 Die inverse DFT unterscheidet sich von der DFT lediglich durch den
146 Faktor 1/N und das negative Vorzeichen.
148 Ausgehend von der Formel für die iDFT kann man beide Seiten konjugiert
149 komplex machen, wodurch sich die gleiche Formel wie für die DFT ergibt,
150 nur dass noch ein Faktor von 1/N davorsteht und die einzelnen Werte
151 X[k] jeweils konjugiert komplex sein müssen!
153 x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
154 x[n]* = (\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n})* =
155 \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n}
156 [konjugiert komplexen Operator nochmal auf beiden Seiten anwenden]
157 x[n] = (\frac{1}{N} \sub_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n)*
159 Also folgende Vorgehensweise um mit DFT iDFT zu berechnen:
160 1. Eingangsfolge komplex konjugieren
161 2. DFT auf diese modifizierte Folge anwenden
162 3. Ausgangsfolge mit 1/N skalieren
163 4. Ausgangsfolge nochmals komplex konjugieren
164 Das komplex konjugieren kann bei reellen Zeitfolgen entfallen!
166 13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen
167 beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf?