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   1 Ausarbeitung der typischen Prüfungsfragen zur Vorlesung "Signalprozessoren"
   2 Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner <e0725433@student.tuwien.ac.at>
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   4 1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
   5      Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
   6         lineare Faltung: auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt
   7         zirkuläre Faltung: auch zyklische oder periodische Faltung genannt
   8         TODO!
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  10 2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
  11      * Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
  12      * Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie f und g über den Frequenzbereich
  13         falten?
  14      * Worauf müssen Sie bei der schnellen Faltung achten?
  15         Hinweis: schnelle Faltung ist nicht nur schneller, sondern auch
  16         genauer, da Rundungsfehler von der Zahl der Operationen abhängen -
  17         weniger Operationen, weniger Rundungsfehler!
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  19         Vorgehensweise: f und g mit Hilfe der FFT in den Frequenzbereich
  20         transformieren, sie dort miteinander multiplizieren, und auf das
  21         Ergebnis die iFFT anwenden.
  22         Problem: FFT arbeitet intern mit der periodischen Faltung, es muss
  23         verhindert werden dass Fehler durch die periodische Faltung entstehen.
  24         Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander
  25         überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche
  26         aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit
  27         Nullen aufgefüllt werden (Zero-Padding).
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  29 3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
  30      Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
  31      y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
  32         TODO!
  33         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
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  36 4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie
  37      welche Auswirkungen haben sie?
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  39 5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR-
  40      Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze.
  41         - Potenz- oder Butterworthfilter
  42                 - geringste Flankensteilheit
  43                 - ungefähre lineare Phase
  44                 - benötigt vergleichsweise höchste Ordnung
  45         - Tschebyscheff
  46                 - bessere Flankensteilheit als Butterworth, schlechtere
  47                   als bei Elliptisch oder Cauer
  48                 - Lineare Phase schlechter als bei Butterworth, aber besser
  49                   als bei Elliptisch oder Cauer
  50                 - Tschebyscheff Typ 1: höhere Welligkeit im Durchlassbereich
  51                 - Tschebyscheff Typ 2: höhere Welligkeit im Sperrbereich
  52         - Elliptisch oder Cauer
  53                 - beste Flankensteilheit, jedoch Welligkeit in
  54                   Durchlass- und in Sperrbereich
  55                 - benötigt vergleichsweise niedrigste Ordnung
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  57 6 -- Berechnen Sie den Frequenzgang des FIR-Filters mit den Koeffizieten
  58      [1 2 3 3 2 1]
  59         Formel für Frequenzgang von FIR-Filtern allgemein:
  60         [ w^ = w * T_s
  61           w^  ... normierte Kreisfrequenz
  62           T_s ... Abtastperiode ]
  63         H(w^) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}
  64         hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine
  65         Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde!
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  67         in unserem Fall also:
  68         x = [1 2 3 3 2 1]
  69         H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} +
  70                   + 2*e^{-j w^ 4} + 1*e^{-j w^ 5}
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  72 7 -- Welche Bedeutung haben Filter mit linearer Phase? Woran erkennen Sie sie?
  73         Lineares Phasenverhalten erzeugt Phasenverschiebungen die
  74         frequenzproportional sind, d.h. die Kurvenform bleibt erhalten!
  75         Steckt die relevante Information in den Frequenzen, und nicht in der
  76         Kurvenform, so ist die lineare Phase nicht von Bedeutung.
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  78         Die lineare Phase ist nur bei FIR-Filtern möglich ist und kann daran
  79         erkannt werden, dass die Koeffizienten symmetrisch sind. Hierbei
  80         gibt es verschiedene Arten von Symmetrien (gerade oder ungerade) und
  81         noch jeweils die Unterscheidung ob die Anzahl der Koeffizienten gerade
  82         oder ungerade ist, was insgesamt zu vier verschiedenen Typen führt:
  83         - Gerade Symmetrie, d.h. b_k = b_{L-1-k}
  84                 - Typ 1: L ist ungeradzahlig (z.B. [1 2 3 2 1])
  85                 - Typ 2: L ist geradzahlig (z.B. [1 2 3 3 2 1])
  86         - Ungerade Symmetrie, d.h. b_k = -b_{L-1-k}
  87                 - Typ 3: L ist ungeradzahlig und b_{(L-1)/2} = 0
  88                         (z.B. [-1, -2, 0, 2, 1])
  89                 - Typ 4: L ist geradzahlig (z.B. [-1 -2 -3 3 2 1])
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  91         Folgendes gilt dabei für die Typen:
  92                 Typ 1 ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen sind möglich
  93                 Typ 2 kann kein Hochpass sein
  94                 Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein
  95                 Typ 4 kann kein Tiefpass sein
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  97 8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters
  98      höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm.
  99         y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + ... + b_{L-1} x[n-(L-1)] +
 100              + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] + ... + a_{M-1} y[n-(M-1)] =
 101                \sum_{k=0}{L-1} b_k x[n-k] + \sum_{m=1}{M-1} a_m y[n-m]
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 103         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
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 105 9 -- Welche Bedeutung hat die Impulsantwort für die Analyse von diskreten
 106      Filtern?
 107         Die Impulsantwort ist das Ausgangssignal eines Systems, bei dem am
 108         Eingang ein Dirac-Impuls zugeführt wird. Mit Hilfe dieser lässt sich
 109         ein LTI-System vollständig charakterisisieren (z.B. Bestimmung von
 110         Übertragungsfunktion und Frequenzgang). Die Wirkung des Filters kann
 111         durch Faltung der Eingangsfolge mit der Impulsantwort im Zeitbereich
 112         bestimmt werden.
 113         Da jedes Eingangssignal als Überlagerung von gewichteten,
 114         zeitverzögerten Einheitsimpulsen dargestellt werden kann, können die
 115         entsprechenden Ausgangssignale von gewichteten und zeitverzögerten
 116         Versionen der Impulsantwort gebildet werden.
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 118 10 - Welche Bedeutung hat das Pol/Nullstellendiagramm?
 119         Aus einem Pol/Nullstellendiagramm kann unter anderem auf den Betrags-
 120         und Phasenverlauf eines Systems, sowie auf dessen Impuls- und Sprung-
 121         antwort geschlossen werden.
 122         Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System
 123         kausal oder stabil ist. Stabilität ist dann gegeben, wenn alle Pole
 124         in der offenen linken Halbebene des Diagramms liegen. Realisierbare
 125         (kausale) Systeme besitzen mehr Pole als Nullstellen.
 126         Weitere Bedeutung hat das Diagramm zum Bestimmen der Koeffizienten
 127         bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die
 128         Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem
 129         Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren.
 130
 131 11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen?
 132         Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die
 133         z-Transformierte der Impulsantwort h[n].
 134
 135         Zusammenhänge:
 136                 Zeitbereich: y[n] = x[n] x h[n] (x = Faltungsoperator!)
 137                 z-Bereich:   H(z) = Y(z)/X(z)
 138                              Y(z) = X(z) * H(z) (* = Multiplikationsoperator!)
 139
 140 12 - Schreiben Sie die DFT und die inverse DFT an. Wie berechnet man die inverse
 141      DFT mit Hilfe der DFT?
 142          DFT: X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2 \pi n}{N} k}
 143         iDFT: x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 144
 145         Die inverse DFT unterscheidet sich von der DFT lediglich durch den
 146         Faktor 1/N und das negative Vorzeichen.
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 148         Ausgehend von der Formel für die iDFT kann man beide Seiten konjugiert
 149         komplex machen, wodurch sich die gleiche Formel wie für die DFT ergibt,
 150         nur dass noch ein Faktor von 1/N davorsteht und die einzelnen Werte
 151         X[k] jeweils konjugiert komplex sein müssen!
 152
 153         x[n]  =  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 154         x[n]* = (\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n})* =
 155                  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n}
 156             [konjugiert komplexen Operator nochmal auf beiden Seiten anwenden]
 157         x[n]  = (\frac{1}{N} \sub_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n)*
 158
 159         Also folgende Vorgehensweise um mit DFT iDFT zu berechnen:
 160                 1. Eingangsfolge komplex konjugieren
 161                 2. DFT auf diese modifizierte Folge anwenden
 162                 3. Ausgangsfolge mit 1/N skalieren
 163                 4. Ausgangsfolge nochmals komplex konjugieren
 164         Das komplex konjugieren kann bei reellen Zeitfolgen entfallen!
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 166 13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen
 167      beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf?