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   1 Ausarbeitung der typischen Prüfungsfragen zur Vorlesung "Signalprozessoren"
   2 Teil 1/2 - von Sebastian Falbesoner <e0725433@student.tuwien.ac.at>
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   4 1 -- Welcher Unterschied besteht zwischen linearer und zirkulärer Faltung.
   5      Erklären Sie an Hand eines Beispiels, z.B.: f = [2 1 2 1] und g = [1 2 3 4]
   6         lineare Faltung (auch "normale" oder aperiodische Faltung genannt): Im
   7         Zeitbereich gilt fuer die laenge des Eregbnisvektors
   8         > len(f*g) == ((len g) + (len f)- 1)
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  10         zirkuläre Faltung (auch zyklische oder periodische Faltung genannt):
  11         Zirkuläre Faltung entsteht ueber den Umweg ueber den Frequenzbereich
  12         > idft(dft(f) x dft(g))
  13         Hier bleibt die Laenge des Ergebnisvektors gegenueber der Laenge der
  14         Parameter erhalten, also es gilt
  15         > len(idft(dft(f) x dft(g))) == len(g) == len(f)
  16         und dementsprechend unterscheidet sich das Ergebnis zur linearen Faltung.
  17         Abhilfe dabei schafft das Auffuellen von Nullen:
  18         > fnew = [f zeros(1,length(g)-1)]
  19         > gnew = [g zeros(1,length(f)-1)]
  20         und zwar entspricht die Anzahl der Nullen die Laenge minus eins des zweiten
  21         Parameters der Faltung. Durch dieses Auffuellen erreichen wir, dass das
  22         Ergebnis der zirkulären Faltung wieder dem Ergebnis der periodischen
  23         Faltung entspricht. Weiters ist darauf zu achten, dass
  24         > len(g) == len(f)
  25         entspricht, sonst kann die Multiplikation im Frequenzbereich nicht
  26         funktionieren. (??? stimmt das?)
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  28         TODO konkreter unterschied?
  29         Achtung:
  30         * ... entspricht Faltung
  31         x ... Multikplikation
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  33 2 -- Die schnelle Faltung wird über den Frequenzbereich berechnet:
  34      * Beschreiben Sie die grundsätzliche Vorgangsweise.
  35      * Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie f und g über den Frequenzbereich
  36         falten?
  37      * Worauf müssen Sie bei der schnellen Faltung achten?
  38         Hinweis: schnelle Faltung ist nicht nur schneller, sondern auch
  39         genauer, da Rundungsfehler von der Zahl der Operationen abhängen -
  40         weniger Operationen, weniger Rundungsfehler!
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  42         Vorgehensweise: f und g mit Hilfe der FFT in den Frequenzbereich
  43         transformieren, sie dort miteinander multiplizieren, und auf das
  44         Ergebnis die iFFT anwenden.
  45         Problem: FFT arbeitet intern mit der periodischen Faltung, es muss
  46         verhindert werden dass Fehler durch die periodische Faltung entstehen.
  47         Lösung: Overlap-Add-Verfahren; dabei wird die Eingangsfolge in einander
  48         überlappende Teilfolgen zerlegt und die Überlappungsbereiche
  49         aufaddiert. Es werden Teilfolgen der Länge L gebildet, wobei diese mit
  50         Nullen der Laenge M-1 aufgefüllt werden und umgekehrt (Zero-Padding).  L
  51         steht dabei ueblicherweise fuer die Laenge der Signalabschnitte und M fuer
  52         die Laenge der Impulsantwort, koennen aber auch beliebig andere
  53         Zahlenfolgen sein.
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  55 3 -- Berechnen Sie die Impulsantwort des folgenden IIR-Filters und skizzieren
  56      Sie das Blockdiagramm der Direkten Form II
  57      y[n] = 1/4 y[n-2] + 5 x[n] - 4 x[n-1]
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  59          Impulsantwort: in z-Bereich transformieren, und dort H(z) =
  60          \frac{Y(z)}{X(z)} = Systemfunktion berechnen. Um die Impulsantwort zu
  61          erhalten muss H(z) in den Zeitbereich transformiert werden (h[n]).
  62          Y(z) = 1/4 z^{-2} Y(z) + 5 X(z) - 4 z^{-1} X(z)
  63          Y(z) (1 - 1/4 z^{-2}) = X(z) (5 - 4 z^{-1})
  64          H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{5 - 4 z^{-1}}{1 - 1/4 z^{-2}}
  65
  66          die Transformation zurueck in den Zeitbereich bleibt dem Leser als Uebung
  67          (Hinweis: Partialbruchzerlegung)
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  69         TODO!
  70         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
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  73 4 -- Welche Bedeutung haben Fenster bei FIR-Filtern? Welche Fenster kennen Sie
  74      welche Auswirkungen haben sie?
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  76          Filterdesign (von WP): Dabei wird der gewuenschte Frequenzgang des Filters
  77          definiert und per inverse Fouriertransformation die (ideale) Impulsantwort
  78          ermittelt.  Das Resultat dabei ist in der Regel unendlich lang, um also
  79          eine gewuenschte Filterlaenge N (=Ordnung) zu erhalten, wird durch eine
  80          Fensterfunktion ein Ausschnitt der unendlichen Impulsantwort ausgewaehlt.
  81          Der tatsaechliche Frequenzgang des Filters entspricht somit der Faltung
  82          des gewuenschten Frequenzganges mit der der Fouriertransformierten der
  83          Fensterfunktion!
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  85          Im Filterdesign fuehren breite (selektive) Fensterfunktionen zu steilen
  86          Uebergaengen (='B') zwischen Durchlass- und Sperrbereich, aber zu geringer
  87          Sperrdaempfung (='A'). Schmale (nicht selektive) Fensterfunktionen fuehren
  88          zu flachen Uebergaengen zwischen Durchlass- und Sperrbereich, dafuer aber
  89          zu grosser Sperrdaempfung.
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  92          verschiedene Fenster (nach Selektivitaet geordnet):
  93          o Rechteckfenster      B=4pi/(2M+1)    A=-13dB
  94          o Hannfenster          B=8pi/(2M+1)    A=-32dB
  95          o Hammingfenster       B=8pi/(2M+1)    A=-43dB
  96          o Blackmann            B=12pi/(2M+1)   A=-58dB
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  98          weitere: Dreieckfenster, Kaiserfenster (hat Parameter \beta !)
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 101 5 -- Welche Approximationsansätze für den Frequenzgang kennen Sie bei IIR-
 102      Filtern? Beschreiben und vergleichen Sie die Ansätze.
 103         - Potenz- oder Butterworthfilter
 104                 - geringste Flankensteilheit
 105                 - ungefähre lineare Phase
 106                 - benötigt vergleichsweise höchste Ordnung
 107         - Tschebyscheff
 108                 - bessere Flankensteilheit als Butterworth, schlechtere
 109                   als bei Elliptisch oder Cauer
 110                 - Lineare Phase schlechter als bei Butterworth, aber besser
 111                   als bei Elliptisch oder Cauer
 112                 - Tschebyscheff Typ 1: höhere Welligkeit im Durchlassbereich
 113                 - Tschebyscheff Typ 2: höhere Welligkeit im Sperrbereich
 114         - Elliptisch oder Cauer
 115                 - beste Flankensteilheit, jedoch Welligkeit in
 116                   Durchlass- und in Sperrbereich
 117                 - benötigt vergleichsweise niedrigste Ordnung
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 119 6 -- Berechnen Sie den Frequenzgang des FIR-Filters mit den Koeffizieten
 120      [1 2 3 3 2 1]
 121         Formel für Frequenzgang von FIR-Filtern allgemein:
 122         [ w^ = w * T_s
 123           w^  ... normierte Kreisfrequenz
 124           T_s ... Abtastperiode ]
 125         H(w^) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}
 126         hergeleitet in dem komplexe Exponentialfolge x[n] in die allgemeine
 127         Gleichung für FIR-Filter eingesetzt wurde!
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 129         Herleitung:
 130         x[n] = A e^{j \phi} e^{j w^ n}
 131         in y[n] einsetzen ... kommt dann auf
 132         y[n] = (\sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j w^ k}) A e^{j \phi} e^{j w^ n}
 133         wobei der Term in der Klammer H(w^) entspricht!
 134
 135         in unserem Fall also:
 136         x = [1 2 3 3 2 1]
 137         H(w^) = 1 + 2*e^{-j w^ 1} + 3*e^{-j w^ 2} + 3*e^{-j w^ 3} +
 138                   + 2*e^{-j w^ 4} + 1*e^{-j w^ 5}
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 140 7 -- Welche Bedeutung haben Filter mit linearer Phase? Woran erkennen Sie sie?
 141         Lineares Phasenverhalten erzeugt Phasenverschiebungen die
 142         frequenzproportional sind, d.h. die Kurvenform bleibt erhalten!
 143         Steckt die relevante Information in den Frequenzen, und nicht in der
 144         Kurvenform, so ist die lineare Phase nicht von Bedeutung.
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 146         Die lineare Phase ist nur bei FIR-Filtern möglich ist und kann daran
 147         erkannt werden, dass die Koeffizienten symmetrisch sind. Hierbei
 148         gibt es verschiedene Arten von Symmetrien (gerade oder ungerade) und
 149         noch jeweils die Unterscheidung ob die Anzahl der Koeffizienten gerade
 150         oder ungerade ist, was insgesamt zu vier verschiedenen Typen führt:
 151         - Gerade Symmetrie, d.h. b_k = b_{L-1-k}
 152                 - Typ 1: L ist ungeradzahlig (z.B. [1 2 3 2 1])
 153                 - Typ 2: L ist geradzahlig (z.B. [1 2 3 3 2 1])
 154         - Ungerade Symmetrie, d.h. b_k = -b_{L-1-k}
 155                 - Typ 3: L ist ungeradzahlig und b_{(L-1)/2} = 0
 156                         (z.B. [-1, -2, 0, 2, 1])
 157                 - Typ 4: L ist geradzahlig (z.B. [-1 -2 -3 3 2 1])
 158
 159         Folgendes gilt dabei für die Typen:
 160                 Typ 1 ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen sind möglich
 161                 Typ 2 kann kein Hochpass sein
 162                 Typ 3 kann weder Hochpass noch Tiefpass sein
 163                 Typ 4 kann kein Tiefpass sein
 164
 165         Mit analogen Filtern kann eine lineare Phase mithilfe eines Besselfilters
 166         angenaehert werden. Dadurch das analoge Filter im Frequenzbereich
 167         Polynome darstellen ist ihre Phase aber nur annaehernd linear und nicht
 168         komplett wie bei FIR-Filtern.
 169
 170 8 -- Schreiben Sie die allgemeine Differenzengleichung eines IIR-Filters
 171      höherer Ordnung an und zeichnen Sie das zugehörige Blockdiagramm.
 172         y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + ... + b_{L-1} x[n-(L-1)] +
 173              + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] + ... + a_{M-1} y[n-(M-1)] =
 174                \sum_{k=0}{L-1} b_k x[n-k] + \sum_{m=1}{M-1} a_m y[n-m]
 175
 176         Blockdiagramm siehe IIR-Foliensatz ab Seite 10
 177
 178 9 -- Welche Bedeutung hat die Impulsantwort für die Analyse von diskreten
 179      Filtern?
 180         Die Impulsantwort ist das Ausgangssignal eines Systems, bei dem am
 181         Eingang ein Dirac-Impuls zugeführt wird. Mit Hilfe dieser lässt sich
 182         ein LTI-System vollständig charakterisisieren (z.B. Bestimmung von
 183         Übertragungsfunktion und Frequenzgang). Die Wirkung des Filters kann
 184         durch Faltung der Eingangsfolge mit der Impulsantwort im Zeitbereich
 185         bestimmt werden.
 186         Da jedes Eingangssignal als Überlagerung von gewichteten,
 187         zeitverzögerten Einheitsimpulsen dargestellt werden kann, können die
 188         entsprechenden Ausgangssignale von gewichteten und zeitverzögerten
 189         Versionen der Impulsantwort gebildet werden.
 190
 191 10 - Welche Bedeutung hat das Pol/Nullstellendiagramm?
 192         Aus einem Pol/Nullstellendiagramm kann unter anderem auf den Betrags-
 193         und Phasenverlauf eines Systems, sowie auf dessen Impuls- und Sprung-
 194         antwort geschlossen werden.
 195         Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System
 196         kausal oder stabil ist. Stabilität ist dann gegeben, wenn alle Pole
 197         in der offenen linken Halbebene des Diagramms liegen. Realisierbare
 198         (kausale) Systeme besitzen mehr Pole als Nullstellen.
 199         Weitere Bedeutung hat das Diagramm zum Bestimmen der Koeffizienten
 200         bei der Entwicklung von IIR-Filtern; bei dieser Methode werden die
 201         Pole und Nullstellen des Filters mit dem gewünschten Verhalten in dem
 202         Diagramm platziert und dann wird entsprechend fortgefahren.
 203         (TODO) by wurm: und wie wird fortgefahren?
 204
 205
 206 by wurm:
 207
 208         Durch das PN-Diagramm ist die Systemfunktion H(z) eindeutig ermittelbar.
 209         Nullstellen auf dem Einheitskreis bedeuten, dass die zueghoerige
 210         Frequenzkomponente am Ausgang des Systems nicht auftritt, also vollstaendig
 211         unterdrueckt wird.
 212         Fuer stabile Systeme muessen die Polstellen im z-Bereich innerhalb des
 213         Einheitskreises liegen (zum Vergleich: bei zeit-kontinuierlichen Systemen
 214         gilt, dass die Pole in der linken offenen Halbebene des s-Bereiches liegen
 215         muessen).
 216         (fuer z-bereich: Das folgt aus der Analyse von Differenzengleichungen, siehe seite 13 ET-Text/IIR)
 217
 218 11 - Wie hängen Impulsantwort und Systemfunktion zusammen?
 219         Die Systemfunktion (auch Übertragungsfunktion genannt) H[z] ist die
 220         z-Transformierte der Impulsantwort h[n].
 221
 222         Zusammenhänge:
 223                 Zeitbereich: y[n] = x[n] x h[n] (x = Faltungsoperator!)
 224                 z-Bereich:   H(z) = Y(z)/X(z)
 225                              Y(z) = X(z) * H(z) (* = Multiplikationsoperator!)
 226
 227 12 - Schreiben Sie die DFT und die inverse DFT an. Wie berechnet man die inverse
 228      DFT mit Hilfe der DFT?
 229          DFT: X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2 \pi n}{N} k}
 230         iDFT: x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 231
 232         Die inverse DFT unterscheidet sich von der DFT lediglich durch den
 233         Faktor 1/N und das negative Vorzeichen.
 234
 235         Ausgehend von der Formel für die iDFT kann man beide Seiten konjugiert
 236         komplex machen, wodurch sich die gleiche Formel wie für die DFT ergibt,
 237         nur dass noch ein Faktor von 1/N davorsteht und die einzelnen Werte
 238         X[k] jeweils konjugiert komplex sein müssen!
 239
 240         x[n]  =  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n}
 241         x[n]* = (\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2 \pi k}{N} n})* =
 242                  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n}
 243             [konjugiert komplexen Operator nochmal auf beiden Seiten anwenden]
 244         x[n]  = (\frac{1}{N} \sub_{k=0}^{N-1} X[k]* e^{-j\frac{2 \pi k}{N} n)*
 245
 246         Also folgende Vorgehensweise um mit DFT iDFT zu berechnen:
 247                 1. Eingangsfolge komplex konjugieren
 248                 2. DFT auf diese modifizierte Folge anwenden
 249                 3. Ausgangsfolge mit 1/N skalieren
 250                 4. Ausgangsfolge nochmals komplex konjugieren
 251         Das komplex konjugieren kann bei reellen Zeitfolgen entfallen!
 252
 253 13 - Wodurch entsteht der Leck-Effekt bei der DFT? Wie können seine Auswirkungen
 254      beeinflusst werden und welche Vor- und Nachteile treten dabei auf?
 255         Wenn eine gegebene Frequenz nicht auf dem Frequenzraster liegt (Abstand
 256         zwischen Spektrallinien betraegt \frac{f_s}{N}), so muss sie durch
 257         benachbarte Frequenzen dargestellt werden.
 258
 259         Man kann diesen Effekt vermindern, indem man N groesser waehlt;
 260         vollstaendig verhindert kann der Leck-Effekt nicht werden, da in der
 261         Praxis ueblicherweise die Spektralkomponenten der (praktischen) Signale
 262         nicht am Raster liegen werden.